Jawaban dan Penyelesaian Latihan 1.3 BSE Matematika Kelas 12 SMA Kurikulum 2013

1. Hitunglah determinan matriks berikut.

$A= \begin{bmatrix} -2 & 5\\ 4 & 0 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:
$det = \left ( -2 \right )\left ( 0 \right )- \left ( 5 \right )\left ( 4 \right ) = 0-20=-20$

Jadi, determinan matriks A adalah -20.

b.
$B=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 7\\ 5 & 1 & -2\\ 0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

$detB=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 7\\ 5 & 1 & -2\\ 0 & 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 5 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$=((4)(1)(-1)+(0)(-2)(0)+(7)(5)(3))-((7)(1)(0)+(4)(-2)(3)+(0)(5)(-1))$ $=-4+0+105-0-(-24)+0$
$=125$

Jadi, determinan matriks B adalah 125.

2. Buatlah matrik ordo 2×2 yang mempunyai determinan 8.
Penyelesaian:
Misal kita punya matriks ordo 2×2:

$M=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

dengan det M = 8
$detM=ad-bc$
$8=ad-bc$

Lalu kita ambil sembarang bilangan bulat untuk memenuhi persamaan 8 = ad – bc, misal:
a = 8, d = 2, c = 2
maka, agar 8 = ad – bc terpenuhi, nilai b haruslah 4.

Jadi bentuk matriks ordo 2×2 nya menjadi seperti ini:

$M=\begin{bmatrix} 8 & 4\\ 2 & 2 \end{bmatrix}$

3. Tentukan semua nilai p sehingga det(A) = 0.
a.
$A=\begin{bmatrix} -5 & p+4\\ p-2 & 1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:
      $detA=0$
$detA=(-5)(1)-(p+4)(p-2)$
   $0=(-5)(1)-(p+4)(p-2)$
   $0=(-5)- (p^{2}-2p+4p-8)$
   $0=(-5)- (p^{2}+2p-8)$
   $0=-5- p^{2}-2p+8$
$p^{2}+2p-3=0$
$(p-1)(p+3)=0$
   $p=1 \bigcup p=-3$

Jadi, agar det(A) = 0 maka nilai p = 1 atau p = -3.

b.
$A=\begin{bmatrix} p-2 & 4 & 0\\ 2 & p & 0\\ 0 & 0 & p-3 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

$detA=\begin{bmatrix} p-2 & 4 & 0\\ 2 & p & 0\\ 0 & 0 & p-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p-2 & 4\\ 2 & p\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ $=((p-2)(p)(p-3)+(4)(0)(0)+(0)(2)(0))-((0)(p)(0)+(p-2)(0)(0)+(4)(2)(p-3))$ $=(p^2-5p+6)p-8p+24$
$=p^3-5p^2+6p-8p+24$
$=p^3-5p^2-2p+24$

$detA=0$
$p^3-5p^2-2p+24=0$
$(p-4)(p-3)(p+2)=0$
$p=4\bigcup p=3\bigcup p=-2$

Jadi, agar det(A) = 0 maka nilai p = 4 atau p = 3 atau p = -2.

Penyelesaian:

det(AB) = det(A) . det(B) = det(C)

det(C) = det (AB)

(3)(p) – (1)(5) = ((1)(4) – (2)(3))(-2)

3p – 5 = (4 – 6)(-2)

3p – 5 = (-2)(-2)

3p – 5 = 4

3p = 4 + 5

3p = 9

p = 9/3

p = 3

p^2 – 2p + 1 = 3^2 – 2(3) + 1

= 9 – 6 + 1

= 4

Jadi, nilai dari p^2 – 2p + 1 adalah 4.

5. Matriks A adalah matriks 2×2. Matriks B adalah matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan baris kedua pada matriks A. Apa hubungan antara det(A) dan det (B)? Jelaskan.

Penyelesaian:
Misal:
$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

dengan:

$detA=ad-bc$

maka, karena B merupakan matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan baris kedua pada matriks A kita dapatkan matriks B sebagai berikut:

$B=\begin{bmatrix} c & d\\ a & b \end{bmatrix}$

dengan:

det(B) = cb – da

dari sini kita akan melihat hubungan antara det A dengan det B dengan cara sebagai berikut.

det(B) = cb – da

det (B) = bc – ad

Lalu kita kalikan kedua ruas dengan -1

-det(B) = -(bc – ad)

-det(B) = –bc + ad

-det(B) = ad – bc

-det(B) = det(A)

det(A) = -det(B)

Jadi, didapatlah hubungan antara det(A) dan det(B) ialah det(A) = -det(B) atau dengan kata lain det(A) merupakan lawan dari det(B).

6. Carilah semua x yang memenuhi
$\begin{vmatrix} x& 0\\ 1&1-x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &-2 \\ 2 & x & -3\\ 1 &3 &x-2 \end{vmatrix}$

Penyelesaian:

$\begin{vmatrix} x& 0\\ 1&1-x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 &-2 \\ 2 & x & -3\\ 1 &3 &x-2 \end{vmatrix}$

$x(1-x)-(0)(1)=\begin{vmatrix} 1 &0 &-2 \\ 2& x & -3\\ 1& 3 & x-2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & x\\ 1 & 3 \end{vmatrix}$

$x-x^2=(1)(x)(x-2)+(0)(-3)(1)+(-2)(-2)(3)-((-2)(x)(1)+(1)(-3)(3)+(0)(2)(x-2))$

$x-x^2=x^2-2x+0+12-(-2x-9+0)$

$x-x^2=x^2+3$

$2x^2-x+3=0$

$2x^2+2x-3x+3=0$

$2x(x+1)-3(x+1)=0$

$(2x-3)(x+1)=0$

$x=\frac{3}{2}\bigcup x=-1$

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 3/2 atau x = -1.

7. Apa yang dapat Anda katakan mengenai determinan matriks 2 x 2 dan 3 x 3 yang semua elemennya adalah bilangan 1? Jelaskan alasan Anda?

Penyelesaian:

Determinannya 0, baik untuk matriks 2 x 2 maupun matriks 3 x 3 yang semua elemennya 1. Ini dapat dibuktikan sendiri dengan menghitung determinan dari masing-masing matriks tersebut. Hasil untuk keduanya pastilah 0.

8. Mengapa demikian dari matriks 3 x 3 dengan salah satu baris yang semua elemennya nol adalah nol? Beri penjelasan.

Penyelesaian:

Karena ketika kita menggunakan metode sarrus untuk mencari determinan matriks tersebut, salah satu baris dengan semua elemen nol tadi otomatis juga ikut sebagai pengali di setiap bagiannya. Sedangkan bilangan apapun jika dikali dengan bilangan nol pastilah menghasilkan nol juga. Sehingga pada perhitungannya nanti akan menghasilkan operasi sebagai berikut:

(0 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0) = 0.

9. Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai determinan matriks 2 x 2 dan 3 x 3 yang mempunyai dua baris dengan elemen yang sama.

Penyelesaian:

Jawaban dan Penyelesaian Latihan 1.3 BSE Matematika Kelas 12 SMA Kurikulum 2013

Published by dinanabila

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

Published by dinanabila

Leave a comment Cancel reply